Квадратична форма; матриця квадратичної форми; канонічний вигляд квадратичної форми; нормальний вигляд квадратичної форми; канонічний базис квадратичної форми; канонічний базис Якобі; кутові мінори матриці квадратичної форми; позитивно визначена квадратична форма; негативно визначена квадратична форма; критерій Сільвестру.
Спочатку теорія квадратичних форм використовувалася для дослідження кривих і поверхонь, що задаються рівнянням другого порядку, що містять дві або три змінні. Пізніше ця теорія знайшла інші додатки. Зокрема, при математичному моделюванні економічних процесів цільові функції можуть містити квадратичні доданки. Численні додатки квадратичних форм зажадали побудови загальної теорії, коли кількість змінних дорівнює будь-якому, а коефіцієнти квадратичної форми не завжди є речовими числами.
Квадратичною формою від невідомих називається сума, кожен доданок якої є або квадратом одного з невідомих, або твором двох різних невідомих.
приклад. Сума Є квадратичною формою від трьох невідомих.
Кожну квадратичну форму можна записати у стандартному вигляді. Для цього спочатку наводяться подібні у квадратичній формі, потім коефіцієнти при позначаються через , а коефіцієнти при через , причому Член записується у вигляді . Після цих перетворень квадратичну форму можна записати у вигляді:
Називається Матрицею квадратичної форми . Оскільки , то – симетрична матриця.
З урахуванням правила множення матриць можна вивести матричну форму запису квадратичної форми.
Де – матриця квадратичної форми, – матриця-стовпець невідомих:
Наведені викладки показують, зокрема, що й – симетрична матриця, то вираз є квадратичною формою від невідомих , т. е. квадратична форма є наслідком скалярного твору матриць і . Матрична форма запису квадратичної форми має вигляд. Якщо – довільний – мірний вектор, то після підстановки у квадратичну форму замість вийде число , яке називається Значення квадратичної форми на векторі.
- Головна
- Замовити роботу
- Вартість рішення
- Варіанти оплати
- Відповіді на запитання (FAQ)
- Відгуки про нас
- Приклади розв'язання задач
- Методики з математики
- Допомога з усіх предметів
- Заробіток для студентів
Прикметник «квадратичний» одразу наштовхує на думку, що щось тут пов'язане з квадратом (другим ступенем), і дуже скоро ми дізнаємося про це «щось» і що таке форма. Прямо скоромовкою вийшла 🙂
Вітаю вас на своєму новому уроці, і як негайна розминка ми розглянемо форму у смужку лінійну. Лінійною формою змінних називають однорідний багаточлен 1-го ступеня:
– якісь конкретні числа* (Припускаємо, що хоча б одне з них відмінно від нуля), а – змінні, які можуть набувати довільних значень.
* У рамках цієї теми будемо розглядати лише дійсні числа.
З терміном «однорідний» ми вже стикалися на уроці про однорідних системах лінійних рівнянь, і у разі він передбачає, що багаточлена немає приплюсованной константи .
Наприклад: – Лінійна форма двох змінних
Тепер форма квадратична. Квадратичною формою змінних називають однорідний багаточлен 2-го ступеня, кожне доданок якого містить або квадрат змінної, або парне твір змінних. Так, наприклад, квадратична форма двох змінних має такий вигляд:
Увага! Це стандартний запис, і щось міняти в ньому не потрібно! Незважаючи на «страшний» вигляд, тут все просто – подвійні підрядкові індекси констант сигналізують про те, які змінні входять до того чи іншого доданку:
– у цьому доданку перебуває твір і (квадрат);
– Тут твір;
– І тут твір.
Далі будемо вважати, що хоча б одна з констант не дорівнює нулю, і ось, будь ласка, «неповний» приклад: , в якому:
– одразу попереджаю грубу помилку, коли втрачають «мінус» у коефіцієнта, не розуміючи, що він відноситься до доданку:
Іноді зустрічається «шкільний» варіант оформлення в дусі, але лише іноді. До речі, зауважте, що константи нам тут взагалі нічого не говорять, і тому запам'ятати «легкий запис» важче. Особливо коли змінних більше.
І квадратична форма трьох змінних містить шість членів:
…чому в «змішаних» доданків ставляться множники-«двійки»? Це зручно, і незабаром стане зрозуміло, чому.
Далі ситуація починає посилюватись:
і посилювати ми далі не будемо, т.к. Форми з великою кількістю змінних зустрічаються досить рідко.
Однак загальну формулу запишемо, її зручно оформити «простирадлом»:
– Уважно вивчаємо кожен рядок – нічого страшного тут немає!
Квадратична форма містить доданків із квадратами змінних та доданків із їх парними творами (Див. комбінаторну формулу поєднань). Більше нічого – жодних «одиноких іксів» і жодної приплюсованої константи (тоді вже вийде не квадратична форма, а неоднорідний багаточлен 2-го ступеня).
Матричний запис квадратичної форми
Як щодо матриць? 🙂 Знаю, знаю, скучили.У практичних завданнях поширений матричний запис квадратичних форм. Пояснення знову почну з форми лінійної, Наприклад, від трьох змінних: . Її можна записати, як добуток двох матриць:
І справді, виконуючи матричне множення, Отримуємо матрицю «один на один»: , єдиний елемент якої можна еквівалентно записати поза матрицею: .
Легко зрозуміти, що лінійна форма «ен» змінних записується як:
Квадратична форма представима у вигляді твори вже трьох матриць:
– Його транспонована рядок;
– матриця квадратичної форми.
Це так звана симетрична матриця, на головної діагоналі якої розташовані коефіцієнти при квадратах невідомих, а симетрично щодо неї – "змішані" коефіцієнти, причому, суворо на "своїх місцях" (наприклад, – у 1-му рядку, 3-му стовпці та 1-му стовпці, 3-му рядку).
Визначник називають дискримінантом квадратичної форми, а ранг матриці – рангом квадратичні форми.
Якщо перемножити три матриці , то вийде точно довга «простирадло» з попереднього параграфа, але розгортати її ми, звичайно, не будемо, а подивимося, як це відбувається в елементарному випадку . Відповідно до загальної формули, матричний запис даної форми має такий вигляд:
, у чому й потрібно переконатися.
Як варіант, спочатку можна було перемножити праві матриці, потім першу матрицю помножити на отриманий результат.
Вам сподобалося так само, як і мені? Ну тоді приклад для самостійного вирішення =)
Записати квадратичну форму в матричному вигляді та виконати перевірку. Визначити дискримінант та ранг форми.
… щось бентежить? 😉 Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку! Статті про визначник і ранзі матриці – на допомогу.
Після чого розберемо аналогічне завдання з формою трьох змінних:
Записати матрицю квадратичної форми, знайти її ранг та дискримінант
Рішення: скинемо важку ношу зайвих формул, і орієнтуватимемося на самі члени:
– доданок двічі містить 1-у змінну, тому ;
– З аналогічних міркувань визначаємо і одночасно записуємо результати на головну діагональ симетричної матриці: .
Так як до доданку входять 1-а та 2-а змінна, то (Не забуваємо поділити на 2) і цей коефіцієнт займає свої законні места: .
Оскільки у формі відсутній член з твором (а точніше, присутній з нульовим множником: ), то і на полотно відправляються два нулі: .
І, нарешті, з доданку визначаємо , після чого картина завершена:
– матриця квадратичної форми. Ось так воно буває – ми не тільки не злякалися "страшних позначень", але й змусили їх працювати на себе!
За умовою не потрібно записувати матричне рівняння, але науки заради:
Бажаючі можуть перемножити три матриці, у результаті повинна вийти вихідна квадратична форма.
Тепер визначимо ранг форми. Він дорівнює рангу матриці . Так як у матриці є хоча б один ненульовий елемент, наприклад, то ранг не менше одиниці. Тепер обчислимо мінор отже, ранг не менше двох. І залишилося перевірити мінор 3-го порядку, тобто. визначник усієї матриці. Тут я до другого стовпця додам третій і розкрию визначник по 3-му рядку:
отже,
Якщо не дуже зрозуміло, що до чого, обов'язково вивчіть статтю про рангу матриці – Це досить хитромудре завдання, і перед нами виявився лише простий випадок, коли кутові мінори не дорівнюють нулю.
Дискримінант квадратичної форми отримано автоматично.
Відповідь: , ранг дорівнює трьом, дискримінант
Наступне завдання для самостійного вирішення:
Відновити квадратичну форму за її матрицею
При цьому не слід згадувати жодних формул! Рішення майже усне:
– Спершу дивимося на головну діагональ і записуємо доданки з квадратами змінних;
– потім аналізуємо симетричні елементи 1-го рядка (або 1-го стовпця), та записуємо всі доданки, до яких входить 1-а змінна (не забуваючи подвоїти коефіцієнти);
– далі дивимося на симетричні елементи 2-го рядка, що залишилися. (праворуч від діагоналі) або 2-го стовпця (Нижче діагоналі) та записуємо відповідні парні твори (з подвоєними коефіцієнтами!).
– І, нарешті, аналізуємо праву нижню пару симетричних чисел.
Докладне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Знаковизначеність квадратичної форми. Критерій Сільвестра
До цього часу ми розглядали «зовнішнє пристрій» форм і час вивчити їх функціональне призначення. Так, по суті, вони працюють як функції. Повернемося до простенької лінійної формі.
Як зазначалося на початку уроку, змінні можуть набувати довільних дійсних значень (Ми обмежилися ними), і кожній такій парі відповідає певне значення , наприклад:
Говорячи мовою науки, перед нами скалярна функція векторного аргументу, в якому кожному вектору ставиться у відповідність певне число. Звертаю вашу увагу, що зараз йдеться не про геометричний вектор, а про вектор у його алгебраїчному розумінні.
Залежно від значень розглянута форма може набувати як позитивні, і негативні значення, і те саме стосується будь-якої лінійної форми – якщо хоча б одне із її коефіцієнтів відмінний від нуля, вона може виявитися як позитивної, і негативної (залежно від значень).
Така форма називається знакозмінної. І якщо з лінійною формою все прозоро, то з формою квадратичної справи куди цікавіше:
Цілком зрозуміло, що дана форма може набувати значень будь-якого знака, таким чином, квадратична форма теж може бути знакозмінною.
– Завжди, якщо тільки одночасно не дорівнюють нулю.
– для будь-кого вектора крім нульового.
І взагалі, якщо для будь-кого ненульового вектора , , то квадратичну форму називають позитивно визначеною; якщо ж – то негативно визначеною.
І все було б добре, але визначеність квадратичної форми видно лише в простих прикладах, і ця видимість втрачається вже при невеликому ускладненні:
– ?
Чи можна припустити, що форму визначено позитивно, але чи так це насправді? Раптом існують значення, при яких вона менша за нуль?
Щодо цього існує теорема: якщо ВСЕ власні числа матриці квадратичної форми позитивні*, вона визначена позитивно. Якщо всі негативні – негативно.
* Теоретично доведено, що це всі власні числа дійсної симетричної матриці дійсні
Запишемо матрицю вищенаведеної форми:
і з рівняння знайдемо її власні значення:
Вирішуємо старе добре квадратне рівняння:
, Отже, форму визначено позитивно, тобто. при будь-яких ненульових значеннях вона більша за нуль.
Розглянутий метод начебто робочий, але є одне велике АЛЕ.Вже для матриці «три на три» шукати власні числа – є довге і неприємне заняття; з високою ймовірністю вийде многочлен 3-го ступеня з ірраціональним корінням.
Як бути? Існує більш простий шлях!
Критерій Сільвестра
Ні, не Сільвестра Сталлоне 🙂 Спочатку нагадаю, що таке кутові мінори матриці. Це визначники які «розростаються» з її лівого верхнього кута:
і останній з них точно дорівнює визначнику матриці.
Тепер, власне, критерій:
1) Квадратична форма визначена позитивно і тоді, коли ВСІ її кутові мінори більше нуля: .
2) Квадратична форма визначена негативно тоді й тільки тоді, коли її кутові мінори значерговуються, у своїй 1-й мінор менше нуля: , , якщо – парне чи , якщо – непарне.
Якщо в 1-й або 2-й послідовності є нульові мінори, це два особливі випадки, які я розберу трохи пізніше, після того, як ми переклали більш поширені приклади. За будь-якої іншої комбінації плюсів-мінусів (і опціонально нулів) форма знакозмінна.
Проаналізуємо кутові мінори матриці:
, і це відразу говорить нам про те, що форма не визначена негативно (відпало пункт 2).
Висновок: усі кутові мінори більші за нуль, значить, форма визначена позитивно.
Чи є різниця з методом власних чисел? 😉
Запишемо матрицю форми з Приклад 1:
перший її кутовий мінор , а другий , звідки слід, що форма знакоперемінна, тобто. залежно від значень може приймати як позитивні, так і негативні значення. Втім, це очевидно.
Візьмемо форму та її матрицю з Приклад 2:
тут взагалі без осяяння не розібратися. Але з критерієм Сільвестра нам все дарма:
, Отже, форма точно не негативна.
, і точно не позитивна (Т.к.всі кутові мінори повинні бути позитивними).
Висновок: форма знакозмінна.
Розминальні приклади для самостійного вирішення:
Дослідити квадратичні форми на знаковизначеність
У цих прикладах все гладко (див. кінець уроку), але насправді для виконання такого завдання критерію Сильвестра може виявитися мало.
Справа в тому, що існують «крайові» випадки, а саме: якщо для будь-кого ненульового вектора , то форма визначена невід'ємно, якщо – то позитивно. У цих форм існують ненульові вектори, за яких.
Тут можна навести такий «баян»:
Виділяючи повний квадратодразу бачимо невід'ємність Форми: , причому вона дорівнює нулю і при будь-якому векторі з рівними координатами, наприклад: .
«Дзеркальний» приклад позитивно певної форми:
і ще більш тривіальний приклад:
– тут форма дорівнює нулю за будь-якого вектора , де – довільне число.
Як виявити невід'ємність чи непозитивність форми?
Для цього нам знадобиться поняття головних мінорів матриці. Головний мінор – це мінор, складений із елементів, які стоять на перетині рядків та стовпців з однаковими номерами. Так, у матриці існують два основні мінори 1-го порядку:
(елемент знаходиться на перетині 1-го рядка та 1-го стовпця);
(елемент знаходиться на перетині 2-го рядка та 2-го стовпця),
та один головний мінор 2-го порядку:
– складено з елементів 1-го, 2-го рядка та 1-го, 2-го стовпця.
У матриці «три на три» головних мінорів сім, і тут уже доведеться помахати біцепсами:
– три мінори 1-го порядку,
три мінори 2-го порядку:
– складений з елементів 1-го, 2-го рядка та 1-го, 2-го стовпця;
– складений з елементів 1-го, 3-го рядка та 1-го, 3-го стовпця;
– складений з елементів 2-го, 3-го рядка та 2-го, 3-го стовпця,
та один мінор 3-го порядку:
– Складено з елементів 1-го, 2-го, 3-го рядка і 1-го, 2-го і 3-го стовпця.
Завдання на розуміння: записати всі головні мінори матриці
Звіряємось наприкінці уроку і продовжуємо.
Критерій Шварценеггера:
1) Ненульова* квадратична форма визначена невід'ємно тоді і тільки тоді, коли ВСІ її головні мінори невід'ємні (Більше або рівні нулю).
* У нульової (виродженої) квадратичної форми всі коефіцієнти дорівнюють нулю.
2) Ненульова квадратична форма з матрицею визначена позитивно тоді і лише тоді, коли її:
– Основні мінори 1-го порядку непозитивні (менше або дорівнюють нулю);
– Головні мінори 2-го порядку невід'ємні;
– Головні мінори 3-го порядку непозитивні (Вішло чергування);
…
– Головний мінор-го порядку непозитивний, якщо – непарне або невід'ємний, Якщо – парне.
Якщо хоча б один мінор протилежного знака, форма знакоперемінна.
Подивимося, як працює критерій у наведених вище прикладах:
Складемо матрицю форми, та насамперед обчислимо кутові мінори – а раптом вона визначена позитивно чи негативно?
Отримані значення не задовольняють критерію Сільвестра, проте другий мінор не від'ємний, і це викликає необхідність перевірити другий критерій (у разі 2-й критерій буде не виконаний автоматично, тобто одночасно робиться висновок про знакозмінність форми).
Основні мінори 1-го порядку:
– Позитивні,
головний мінор 2-го порядку:
– Не негативний.
Таким чином, ВСІ головні мінори не негативні, отже, форма невід'ємна.
Запишемо матрицю форми , на яку, зрозуміло, не виконаний критерій Сильвестра.Але й протилежних знаків ми теж не отримали (бо обидва кутові мінори дорівнюють нулю). Тому перевіряємо виконання критерію невід'ємності/непозитивності. Основні мінори 1-го порядку:
– Не позитивні,
головний мінор 2-го порядку:
– Не негативний.
Таким чином, за критерієм Шварценеггера (пункт 2) форма визначена непозитивно.
Тепер у всеозброєнні розберемо найцікавіше завдання:
Дослідити квадратичну форму на знаковизначеність
Цю форму прикрашає орден «альфа», який може дорівнювати будь-якому дійсному числу. Але ж це тільки веселіше буде, вирішуємо.
Спочатку запишемо матрицю форми, напевно, багато хто вже пристосувався це робити усно: на головну діагональ ставимо коефіцієнти при квадратах, але в симетричні місця – споловиненные коефіцієнти відповідних «змішаних» творів:
Обчислимо кутові мінори:
третій визначник я розкрию по 3-му рядку:
До речі, в силу симетрії, по 3-му стовпцю він розкривається так само.
Подальше рішення зручно розбити на 2 пункти:
1) З'ясуємо, чи існують значення «альфа», у яких форма визначена позитивно чи неотрицательно. Згідно з критерієм Сільвестра, умові позитивності форми відповідає наступна система лінійних нерівностей:
Відповідно до поставленого завдання, спочатку розберемося з 2-ою нерівністю:
помножимо обидві його частини на , змінивши у нерівності знак:
, що суперечить першій нерівності системи.
Таким чином, система несумісна, отже, форма може бути позитивно визначеної за жодних «альфа», із чого логічно і автоматично випливає, що вона може бути і неотрицательной.
2) Проведемо дослідження на негативність/непозитивність.За Сильвестром, умові негативності форми відповідає наступна система лінійних нерівностей:
Друге нерівність вже вирішено: , і вона суперечить першому. І третю нерівність теж «вписалося в рамки»: .
Таким чином, маємо спільну систему:
з якої випливає, що форму визначено негативно при . Наприклад, якщо :
– то за будь-якого ненульовому Вектор дана форма буде суворо негативна.
Залишилося дослідити «прикордонний випадок». Якщо , то:
Останнє значення не задовольняє 2-му пункту критерію Сільвестра, проте воно дорівнює нулю, що дозволяє припустити непозитивність форми. Запишемо матрицю форми та перевіримо критерій Шварценеггера. Головні мінори першого порядку:
– Добре, всі мінори непозитивні, тому перевірка триває.
Розраховуємо мінори 2-го порядку. Якщо хоча б один з них виявиться негативним, то форма буде знакозмінною:
Ні, всі мінори невід'ємні, і мінор 3-го порядку вже розрахований:
Таким чином, за критерієм Шварценеггера (пункт 2), має місце непозитивність форми, іншими словами, причому, нулю вона дорівнює і при деяких ненульових значеннях.
Відповідь: при формі визначено негативно, при непозитивно, в інших випадках форма знакоперемінна.
І творче завдання для самостійного вирішення:
Дослідити квадратичну форму на знаковизначеність
І на закінчення статті хочу висловити подяку Сергію Хохлову, колись ст. викладачеві МПГУ – за важливі зауваження та цікаві додаткові приклади, а також Арнольду Шварценеггеру, який зіграв у незвичному для себе амплуа та допоміг мені яскравіше пояснити матеріал 🙂
Як сказав актор, I'll be back, і я чекаю вас на наступному уроці – про канонічному вигляді квадратичної форми.
приклад 1. Рішення: спочатку наведемо подібні доданки:
Квадратична форма двох змінних має вигляд , у разі: . Запишемо форму в матричному вигляді:
Перевірка:
що й потрібно перевірити.
Обчислимо дискримінант форми:
Оскільки , то ранг форми дорівнює двом.
Відповідь: , , Ранг форми дорівнює двом.
приклад 3. Рішення: симетрична матриця 4*4 визначає квадратичну форму 4 змінних Коефіцієнти головної діагоналі , отже:
Симетричні коефіцієнти 1-го рядка: , таким чином:
Симетричні елементи 2-го рядка, що залишилися: , і:
приклад 4. Рішення:
а) запишемо матрицю форми:
і обчислимо її кутові мінори:
Таким чином, за критерієм Сильвестра, форму визначено негативно.
б) запишемо матрицю форми:
і обчислимо її кутові мінори:
Висновок: форма знакозмінна.
Завдання на розуміння: у цієї матриці чотири основні мінори 1-го порядку:
,
шість головних мінорів 2-го порядку:
чотири головні мінори 3-го порядку:
і один головний мінор 4-го порядку, що дорівнює визначнику матриці.
Приклад 5*. Рішення: запишемо матрицю форми та обчислимо її кутові мінори:
Таким чином, форма не задовольняє критерію Сільвестра, однак, може виявитися невід'ємною (бо й інші нульові мінори). Для цього всі головні мінори мають бути невід'ємними. Основні мінори 1-го порядку:
.
Обчислимо основні мінори 2-го порядку:
– серед головних мінорів зустрівся негативний, отже форма не задовольняє критерію невід'ємності.
Відповідь: форма знакозмінна.
Автор: Ємелін Олександр
(Перехід на головну сторінку)
знижка 15% на перший замовлення, при оформленні введіть промокод: 5530-hihi5
© Copyright Олександр Ємелін, mathprofi.ru, 2010-2025, зроблено в Блокноті